Milano è la mia terra

Arrivo in stazione Centrale con mezz'ora di anticipo, è una giornata grigia e tiepidina eppure pare di essere al polo con parecchie persone con sciarpe tirate su fin sul naso, baveri alzati, perfino una fascia da tennis Diadora per i capelli a "proteggere" naso e bocca. Dubito che serva a qualcosa contro le droplets dell'influenza, ma di sicuro uno si fa un'auto-sniffata di forfora grandiosa. Milano, myland, in questi giorni frenetici e, in un certo senso, epici. Giorni in cui la psicosi da sindrome influenzale da coronavirus ha lasciato il segno qui e nel natio Veneto. Ma andiamo con ordine.

FBF. Luciana è al FBF da una decina di giorni seguita dall'equipe di Antonio che combatte una pericardite cronica relativamente rara come nessun altro sa fare in Italia (e certamente non sanno fare in alcuni ospedali dalle nostre parti, dove vari medici sono terrorizzati e reagiscono proponendo misure invasive che non servono a nulla). Qui abbiamo trovato un fine perlage di competenze tecniche di prima classe, empatia ai confini della realtà e efficienza. Sono partiti immediatamente con farmaci sperimentali con nomi battaglieri da valchiria come Anakirna e per poco Luciana non finiva in un trial denominato Raphsody, dove si somministra il rinolacept, un'anakirna "potenziata" che pare il non plus ultra dell'antifiammatorio. Al FBF si respira aria buona (ehm, strano da dire in questi giorni sospettosi in cui pare che tutto sia ammorbato e si respira piano, quasi ad evitare di fare il pieno), il morale è alto, il reparto è colorato e concede viste dei campetti di calcetto di via Moscova da un lato, e sulla torre di Unicredit dall'altro. Luigi percorre km su e giù per i corridoi e porta scritto sulle spalle "Sono Luigi. Se mi perdo riportatemi al piano del FBF". Fanno il lavoro, lo fanno bene, credo abbiano assorbito lo stile diretto e cordiale di Antonio. Da lui, pur senza conoscerlo, ho imparato molto: credevo di essere bravino con gli studenti, offrendo supporto, chiamate telefoniche, flessibilità ma non c'è proprio storia: lui risponde agli email di notte e qualche volta in pochi minuti, manda whatsapp ai pazienti e ai familiari anche durante i weekend, ti avvolge quasi a suggerire che è sempre (quasi) tutto ok. Mi ricorderò di questa mirabolante apertura le prossime volte che la prima reazione vorrebbe essere, anche comprensibilmente, di fastidio di fronte a richieste varie, talvolta fuori luogo e fuori tempo. D'altra parte, per mettere giù due frasi di questo periodo, ``la pazienza cura tutto'' e, da Gandhi, "perdere la pazienza vuol dire perdere la battaglia". Grazie Antonio per questa lezione e per aver rimesso Luciana in carreggiata.

Short let. Stavolta scegliamo con airbnb in zona chinatown. Al momento della prenotazione, che era incredibilmente meno di una settimana fa e già sembra che sia passata un'eternità, quasi non sapevo che c'era chinatown a Milano, non collocavo via Nicolini su nessuna mappa mentale o geografica e la psicosi da COVID-19 non aveva ancora insabbiato del tutto gli ingranaggi della potente macchina economica del nord Italia. Lala, una collega di cui vado fiero e che mi pizzica sempre quando twitto da Milano, mi ha accolto con la consueta arguzia e verve online, facendomi sentire a mio agio. In qualche frangente, mentre provavo la bella senzazione di camminare per via Paolo Sarpi, con le sue vetrine bilingui, mi è parso di stare dentro l'occhio di un ciclone. A poco a poco però tutta la vitalità della zona si è quasi interamente spenta, un po' per colpa delle ordinanze che hanno imposto di chiudere i bar e altri locali alle 18.00 ma, soprattutto, per la decisione volontaria e collettiva dei connazionali di origine cinese di chiudere le serrande, cercando di tranquilizzare "gli altri" ed evitare contatti con non si sa chi. Ho trovato questa scelta così responsabile e piena di senso civico da oscurare tutti quelli che straparlando hanno seminato paura, razzisimo e intolleranza.

Salvini, per dire, avrebbe fatto meglio a prendere esempio, chiudendo la serranda e l'account twitter per qualche giorno, invece di spargere deliranti proclami sulla necessità di paralizzare un paese, buttare a mare gli immigrati, paventare un armageddon dando la colpa al governo pur di raccattare i voti di 4 odiatori non lontani dalla sociopatia. Su altro fronte, è stato adrenalico e quasi animato da una soprannaturale vitalità immobiliare anche l'approccio all'appartamento, collocato in un complesso nuovo di zecca, una specie di enorme corte chiusa cui si affacciano diversi condomini di bel design moderno e "milanese". Forse le signore delle pulize avevano fretta, ma il pavimento di gres grigio-beige impietosamente mostrava qualche macchia e impronta e alcuni dettagli indicavano una certa qual approssimazione. Insomma, sporco incancrenito non era ma, forse, Mastro Lindo non sarebbe rimasto folgorato. Bene, abbiamo chiesto in prima battuta che venissero a dare una ritoccata, fatto; poi, replica per chiedere che sistemassero lo scarico del lavandino che impiegava 20 minuti per svuotarsi, fatto anche quello nel secondo giorno. Mi soffermo su questi particolari per dire che le cose possono anche partire così così ma poi, con serietà, si sistemano. Ed è solo l'inizio. Il terzo giorno (che, come sappiamo, ha bei quarti di nobilità fin dai tempi biblici...) ci chiudiamo fuori da casa lasciando le chiavi nella toppa. Era da un decennio che non facevamo questa minchionata che rende potenzialmente difficile aprire la porta anche se si recupera un secondo mazzo. Comunque, mi faccio una passeggiata fin presso la Galleria Vittorio Emanuele e recupero questo mazzo di riserva, tutti mi dicono che non ci sono problemi anche se provo a ripetere che l'altra chiave ostruiva la toppa. Ritorno stringendo il mazzo salvifico nella tasca, per essere certo di non perderlo, ma questo stato di riacquisita tranquillità dura poco. In effetti la chiave non va fino in fondo e non gira, nonstante tentativi e sacramenti vari. Ritelefono ail'host, che mi parla in un italiano screziato di cinese, "è un problema... prova con una carta... il portocino blindato costa 3500 euro e se chiamo un fabbro..." Panico, altro che coronavirus: 3500 euro??? Ma cos'è questa storia della carta?

"Prova con la carta, accostandola al pomello" e tenta di farmi vedere cosa fare in una videochiamata whatsapp. Io capisco poco o nulla, credo che la maniglia sia come quelle di certi alberghi che percepiscono il chip di una carta, ma non è così e penso che è una follia che la mia carta di credito, col mio chip, apra una porta blindata di Milano grazie e qualche forma di domotica sconosciuta a noi polentoni. "No, no così! Le mando un video..." Credeteci o meno, mi guardo il video e capisco che la carta serve per "scassinare" la porta (comprendo anche sempre meglio che le immagini valgono più di mille parole, una cosa che dico sempre anche a lezione quando insegno a fare i grafici). Istruito dal video (ecco il link), imbraccio la mia carta del supermercato PAM (che non ha nemmeno il chip) e al secondo tentativo la infilo esattamente all'altezza giusta, facendo scattare il nottolino e aprendo la porta. Il vostro umile blogger adesso sa aprire un portocino rinforzato lombardo con una semplice carta PAM di ottima qualità e rigidezza, veramente perfetta. E io che pensavo che servisse per gli sconti e le offerte. Prendetemi pure per i fondelli, è vero che "era aperto" e non ce l'avrei mai fatta senza video e se non fosse rimasta la chiave dentro. Ma poi, entusiasmato, ho fatto delle prove, ci ho messo 5 secondi scarsi, tutto sta nel sapere l'altezza dove infilare la carta. Per concludere sappiate che ci ho pensato seriamente prima di mettere il link al video ma poi mi sono convinto che è meglio sapere le cose, anche quelle brutte, visto che comunque i malviventi ne sanno più di noi; bisogna sempre chiudere con due giri di chiave sennò quei bellissimi portoncini pieni di sbarre di ferro si aprono di fronte al primo ganassa che passa; infine, guardatevi bene anche dai professori e da chi ha in portafoglio una carta PAM di prima classe (nel senso che è fatta di plastica robusta, ma secondo me basta e avanza anche la carta Venezia).

W la libertà di stampa! Milano è la città di Indro Montanelli, sommo epigono di quella milanesità che io ho imparato a rispettare da piccolo, quando mio papà, inflessibilmente, iniziava la giornata col controcorrente del "il Giornale''. poi siamo passati al Corriere, altro simbolo della Milano austera, analitica e sobria che tutti vorremmo perché intanto  "il Giornale" era passato dalle stelle alle stalle, dilapidando un'eredità morale che avrebbe meritato miglior sorte. Fotografo la statua di Montanelli, che sta nei giardini a lui intitolati non lontano dal FBF, ha sulle ginocchia una Lettera 22: certo che qui i simboli dell'Italia di cui andare fieri non mancano. O almeno così pare a un campagnolo in libera uscita nella metropoli. A un certo punto, passeggiando per via Solferino ho realizzato che ero nella via del quotidiano più letto d'Italia. A dir la verità, ho visto l'insegna del Corriere e ho smesso di chiedermi ripetutamente ``ma perché mi ricordo di questa via Solferino?''

È stato istruttivo vedere i giornali parlare di quello che stava accadendo. Questo è solo un blog e non mi dilungherò troppo in analisi che lascio ad altri ma ho visto i danni di titoli che evocano la parola strage in relazione a un'influenza.

W la libera stampa, certo, ma ci costa anche caro avere "giornalisti" che terrorizzano i deboli di cuore e di spirito. Guardatevi le prime pagine di "Libero"e "il Giornale" di questi giorni: io sono rimasto di sasso. Mentre tutti provavano a contenere l'ansia, mantenere lucidità e approntare al meglio misure varie (anche se personalmente le reputo eccessive), questi titoli buttano taniche di napalm sul fuoco, riaccendendo le nostre paure peggiori, fomentando teorie del complotto e facendo strame della realtà.

Devo dire che anche il Corriere, che pure brilla per aplomb e suona la carica dell'impegno e della responsabilità ogni giorno, a volte mi è sembrato un filo troppo angosciante: a tutta pagina, "Altri 4 morti ma i focolai sono gli stessi", oggi 25 febbraio. Ok, 4 morti, ma leggendo bene le pagine interne si scopre che sono purtroppo anziani spesso ultra-ottantenni, con gravi problemi di salute pregressi, in dialisi o già in rianimazione per infarto. Siamo sicuri che parliamo di sindrome influenzale? O meglio, è veramente allarmante o sorprendente sapere che persone dalla salute così compromessa non ce l'abbiano fatta dopo aver contratto un'influenza insidiosa? Io ero a Milano in questi giorni e, proprio per andare a prendere il mazzo di chiavi di scorta, sono passato per la Galleria Vittorio Emanuele vedendo decine di persone senza mascherina e qualcuno che la portava. Non è esattamente la sensazione che dà la foto, spettacolare nella sua grandangolarità, che campeggia in prima pagina e credo che il lettore di Voghera possa immaginarsi torme di turisti mascher(in)ati o trascinati in barella e flebo via dallo struscio di via Monte Napoleone dove sono caduti in preda a influenza fulminante... Più o meno sulla stessa linea, leggo che nei supermercati gli scaffali sono vuoti dopo che qualcuno ha fatto incetta di acqua e beni di prima necessità, immagino dopo aver letto a colazione "Libero" e "il Giornale". Va bene, ci sta pure. Ma io sono stato in centro per quattro giorni e il mio Carrefour aperto 7/24 aveva gli scaffali traboccanti di tutto quello che un umano, anche tendente al gourmet, può volere. Capisco la necessita di fare notizia e, in effetti, scrivere "Gli scaffali sono pieni come al solito" non è una gran novità ma mi riprometto di rifletterci due volte quando vedo la prossima volta una foto da Wuhan desertificata: non intendo minimizzare, ma le notizie sono brandelli di realtà che non colgono il tutto, né potrebbero a dir la verità, sono faretti che illuminano un angolo e, forse, rendono meno visibili per contrasto altre cose che pure stanno intorno. Di sicuro, sempre più, abbiamo bisogno di libera stampa, anche di "Libero" e "il Giornale" e di buoni giornalisti che evidentemente però sono merce rara in certe testate.

Casa. Arrivo a Treviso alle 14.45, dopo questa tirata milanese allietata, pur nella mestizia virale di questi giorni, dagli spaghetti "semplici" e buonissimi di Eataly e dai chiffari salati di "Panarello" fra Corso Garibaldi e Moscova. Grazie anche a voi per aver aiutato a farci sentire Myland quasi come casa nostra.

PS. Lala, ci sono stato da "Parigi Dolci" in via Messina ma i ravioli li proverò un'atra volta! Anche lui era dignitosamente chiuso "per ferie". Chapeau.

Complex coloring and contour levels

I was recently fascinated by the illustration taken from the leaflet https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/Mathhorizons/pdfs/ColoringPage_MH_Nov17.pdf

I knew that complex functions could be colored in mesmerizing ways but the little book by Julie Barnes, William Kreahling, and Beth Schaubroeck, “Coloring book of complex function repesentation”, MAA Press, 2017, explores new avenues and, say, I never realized that contour lines could be used to obtain beautiful images. Moreover, I teach students how to draw contour curves of two dimensional functions like \(f(x,y)\) and thought this could be a funny example (though, it is really another story when you tweak functions of the complex plane in itself.) Hence, I bought the book (actually, I got it out of the bonus points awarded by writing reviews on Mathscinet) and decided to give R a try. Take the function \[ f(x)=z^2-\frac{0.6}z, \] where \(z\in\mathbb{C}\) and consider 6 nested applications of the function with itself \[ f^6(z)=f(f(f(f(f(f(z)))))):=f6(z). \] (don’t ask me how the authors found that, the book provides plenty of insights and I do not want to spoil all the fun!) Of course, \(f6(z)\) is a complex number and we are going to plot the \(z\)’s such that the real part of \(f6(z)\) is null. In other words, we plot the zero-contour level of \(\Re (f6)\) on the rectangle \([-0.85,1.35\times [-1.4,1.4]\) of the complex plane. If you prefer, we want to find the complex points that are mapped to the imaginary axis after 6 applications of \(f\). The standard (so to say!) way to plot contour lines in is to use outer and contour. This time, I’m not plotting \(f(x,y)\) where \(x,y\) are two real numbers but I’ll compute \(f6(x+i\ y)\), where \(z=x+i\ y\):

fz <- function(z) z^2-0.6/z
fz6 <-function(z) fz(fz(fz(fz(fz(fz(z))))))
f6 <- function(x,y) fz6(x+1i*y)
x <- seq(-0.85,1.35,len=1001)
y <- seq(-1.4,1.4,len=1001)
m <- outer(x,y,f6) # this is a matrix of complex numbers
contour(x,y,Re(m),levels=c(0),drawlabels=F,axes=F) 
# Re(m) takes the real parts

I was pretty much happy of the work: a few lines of code fill the matrix \(m\) with all the complex values of \(f6\) for all \(x+i\ y\) (\(x\) and \(y\) are taken from the sequences). Then, a contour on the real part of the matrix is displaying this marvel, if you share my enthusiasm… I decided to tamper a bit with the filling of the contours using colors and, in so doing, showing how to extract the points contained in all in all the (possibly many) components of contour lines:

cl <- contourLines(x,y,Re(m),levels=0)
pal <- topo.colors(48)
contour(x,y,Re(m),levels=c(0),drawlabels=F,axes=F)
for(i in 1:length(cl)) polygon(cl[[i]]$x,cl[[i]]$y,col=pal[i %% 12+1])

The variable cl is a list with the points of all the components of the zero-level contours and pal is a palette of colors (you can unleash your imagination and change palette). Then a for loop fills with different shades every single contour in I decided to use this and other variations to send Christmas cards to friends and relatives. I love math and (also) wrote the complex function \(f(z)\) on the card but really felt the pictures were nice and needed no complexity (!) at all to be enjoyed. The picture that originates all the story is related to another complex function and displays three contours at one time. Easy as a piece of cake:

fz <- function(z) z^3+(-0.2+0.11*1i)/z^3
fz3 <-function(z) fz(fz(fz(z)))
f3 <- function(x,y) fz3(x+1i*y)
x <- seq(-1.08,1.08,len=1001)
y <- seq(-1.3,1.3,len=1001)
m <- outer(x,y,f3) # this is a matrix of complex numbers
contour(x,y,Re(m),levels=c(-2,0,2),drawlabels=F,axes=F) 
# Re(m) takes the real parts

Have a colorful (and not that complex) new yeaR!

Capire la mente di un artista con la matematica

Cercherò in questo post di mostrarvi come si possa usare la matematica per esplorare la mente di alcuni artisti ma, in realtà, il mio obbiettivo è solo quello di riprodurre qualcosa che potrebbe essere stato creato da un artista. In questo senso, sono un falsario perché fingo di comportarmi come un’artista e invece sto solo utilizzando i computer e la loro potenza di calcolo. Da un altro punto di vista vi descriverò alcuni degli strumenti matematici che in potenza possono catturare le idee degli artisti e riprodurle, letteralmente, produrle di nuovo, creando opere d’arte che non hanno mai visto la luce ma che avrebbero potuto essere create veramente.

La mia storia ha per oggetto il pavimento-mosaico disegnato da Carlo Scarpa per il palazzo Querini Stampalia, lo potete vedere in quest’immagine.

Nel 1961 Carlo Scarpa, con il determinante aiuto di un personaggio del calibro di Bepi Mazzariol, direttore della Fondazione Querini Stampalia, fu incaricato di rimodellare il piano terra e il giardino del palazzo e di costruire, fra difficoltà che meriterebbero di essere raccontate, uno dei pochissimi ponti moderni a Venezia. Come sapete, lavorare a Venezia è arduo perché si percepisce sempre il peso e la stratificazione di secoli di arte e interventi architettonici da parte di moltissimi maestri. Scarpa riuscì, come in altri casi, a trovare un sottile equilibrio fra innovazione e tradizione, e proprio lui diceva che la sola vera innovazione dev’essere radicata nello stretto rispetto della tradizione.

Non ho il tempo in questa sede per discutere le moltissime sfaccettature di quella che è ora chiamata ``l’Area Scarpa’’ e mi concentrerò solamente sul pavimento. Credo che si possa affermare che nulla del genere era stato ammirato prima. Vi mostro alcune figure per consentirvi di apprezzare questa magnifica complessità multicolore, nella speranza che possiate condividere le domande che mi sono fatto sul significato di questo pavimento.

C’e una forma di regolarità? Ovviamente no. Si tratta di un mosaico casuale? Ovviamente no, perché si vede immediatamente che certe combinazioni di colori sono più frequenti di altre; inoltre alcune configurazioni che dovremmo vedere spesso in una disposizione casuale non sono invece mai presenti. Sappiamo che Scarpa non disse ai marmisti di disporre le tessere a loro piacimento ma disegnò precisamente la loro posizione. Come dice Gombrich, nell’esperienza estetica ``il piacere spesso sta da qualche parte tra la monotonia e la confusione’’.

È possibile pensare che Scarpa avrebbe potuto fare qualcosa di diverso? Questo specifico pavimento avrebbe potuto essere diverso? Non lo sappiamo, perché l’architetto non ha lasciato spiegazione e non abbiamo la minima idea di quel che aveva in mente.

Bisogna dire che alcuni critici pensano, sic et simpliciter, che qualsiasi opera d’arte è unica e affermano che non potrebbe essere diversa da quello che è. Per esempio, un collega psicologo cognitivo, Paolo Legrenzi, dice in un bellissimo libro intitolato ``Regole e caso’’ che ogni lavoro di Jackson Pollock è unico. Guardate questo quadro, Alchemy, visibile alla collezione Peggy Guggenheim. Può essere unico, nel senso di fatto così e solo così?

Oppure condividete l’opinione che, in linea di principio, Pollock avrebbe potuto lanciare la vernice sul quadro in un modo leggermente diverso?

Beh, se questo è il caso, siete probabilmente vicini ad accettare l’idea che un Alchemy diverso era possibile, almeno se siamo in grado di capire in qualche modo che cosa c’era nella testa di Pollock e cosa avrebbe potuto fare di diverso quando la vernice sgocciolava sulla tela.

Il pavimento non è del tutto irregolare e siamo in presenza di qualche forma d’ordine, è difficile capire quello che succede ma abbiamo (io ce l’ho di sicuro) l’impressione che ci siano dei pattern e un ordine nascosti e non percepibile immediatamente.

Vedete la struttura ad elle ''o a tre quarti’‘ in cui tre quadrati di marmo dello stesso colore interagiscono con un quadrato di diverso colore. Lo stesso motivo era stato utilizzato anche in altre opere del ``Professore’’.

Da dove è venuta quest’ispirazione? Lasciatemi fare un passo indietro: qual’era la tradizione o, se volete, che cosa aveva visto Scarpa nel suo passato? Aveva fatto qualcosa di simile qualche anno prima del 1961 al negozio Olivetti in Piazza S. Marco.

Ovviamente la brillantezza dei colori ci ricorda la Querini ma, allo stesso tempo, questo pavimento è molto regolare. Scarpa utilizzò una pattern simile anche in altre opere.

Certamente, vide molti pavimenti tradizionali come quelli che vedete nella Basilica di S. Marco e provenienti dalla scuola cosmatesca a Roma, S. Maria Novella e S. Paolo fuori le mura.

Nondimeno, ovviamente, il mosaico della Querini è diverso pur trasmettendo la stessa sensazione di camminare su un tappeto di marmo.

Sono in debito con l’amico e architetto Guido Pietropoli che mi ha mostrato alcuni quadri di Josef Albers. È verosimile che Carlo Scarpa abbia visto queste opere (anche se non ne siamo certi, visto che questi lavori sono divenuti noti molto dopo che la serie degli ``omaggi al quadrato’’ fosse conosciuta).

Ma vide e apprezzò il lavoro del belga Jean Arp più di un decennio prima. Questa volta siamo certi che Scarpa vide l’opera di Arp perché decise di inserirla nella celeberrima Biennale del 1948 in cui allestì il padiglione di Peggy Guggenheim.

Quella Biennale fu un raggio di luce dopo la devastazione della seconda guerra mondiale e l’esibizione della sua incredibile collezione d’arte rese Peggy famosa e riconosciuta come una dei maggiori collezionisti d’arte del mondo. Ebbene, Scarpa collocò il collage di Arp in una posizione importante e, quindi, abbiamo la prova che conoscesse la forma ad elle che è presente sia qui che nelle opere di Albers.

Questa ricostruzione del padiglione mostra il quadro posizionato proprio vicino all’ingresso. Ho fotografato il plastico in una retrospettiva sul padiglione greco di Peggy al museo Guggenheim nell’estate del 2018.

Adesso è il momento di dare spazio alla matematica! Ho parlato di pattern, una struttura regolare che si può trovare in un sistema, in un’opera d’arte, in un quadro o in un mosaico. Come si possono trovare i pattern in una figura? È proprio qui che la matematica assume un ruolo.

Essenzialmente, il pavimento è una matrice e ciascuna tessera è un elemento di questa matrice. Quindi, voi vedete un pavimento ma io, in realtå, vedo una riga di numeri, uno per ciascuna tessera. Ora, ogni immagine è una matrice, è solo questione di tradurre ciascun pixel in un numero e otterrete la vostra matrice. E in matematica c’è una lunga tradizione di analisi di matrici (se la matematica vi impaurisce, è forse più sexy pensare che sto parlando di intelligenza artificiale o computazionale che altro non è che l’arte e la scienza di trovare modelli per descrivere i pattern, le regolarità, presenti in oggetti fisici o mentali, che includono il mosaico della QS).

Osservate questa immagine: la signorina si chiama Lena ma, credeteci o meno, è solo una (bella) matrice. L’immagine di Lena è la figura più utilizzata al mondo per sperimentare tecniche di manipolazione grafiche. Nell’estate del 1973, un assistente all’Università della California del Sud cercava un’immagine meno noiosa del solito per provare degli algoritmi descritti in un lavoro da sottoporre a una conferenza, era stanco delle figure noiose utilizzate fino a quel momento e cercava qualcosa di più ``patinato’’. Trovò e scansionò quest’immagine che, da quel giorno in poi, è apparsa centinaia e migliaia di volte in riviste scientifiche ed è di fatto diventata l’immagine test standard per confrontare tecnologie video (come compressione, filtri, correzioni…)

Il mio primo risultato matematico è il teorema di Eckart-Young, una specie di magia in grado di decomporre qualsiasi immagine (cioè qualsiasi matrice) in componenti semplici. Ecco il teorema.

Sia M una matrice m×n. Allora c’è una fattorizzazione di M, detta decomposizione in valori singolari, che prende la forma M = UΣV*.

Inoltre, questi valori singolari ci danno le migliori approssimazioni a basso rango.

Semplificando il giusto, il teorema afferma che potete utilizzare i valori singolari di cui parlavo prima e otterrete le più semplici approssimazioni possibili della matrice. Così facendo potete scoprire pattern semplici nascosti nella matrice e, tipicamente, potete descriverne le caratteristiche più importanti o salienti. Ad esempio, cosa si ottiene se estraggo da Lena queste componenti semplici e allo stesso tempo massimamente informative a livello grafico? Ottenete queste immagini:

Naturalmente, si tratta di una Lena super-semplificata ma spero possiate intuire che l’immagine originale ha molte strisce verticali. Il secondo pattern è questo… il terzo… il quarto…

Aspetta un attimo! Come mai non c’è più traccia della ragazza originale? Avete ragione, non la vedete perché state vedendo le componenti semplici una alla volta. Ecco quello che succede se vi mostro le prime 10 componenti tutte insieme.

D’accordo, questa non è Lena ma abbiamo fatto un ottimo lavoro perchè abbiamo ricostruito la maggioranza della sua struttura geometrica (cioè, le linee verticali, il cappello, l’ovale del viso) utilizzando pochi pattern ultrasemplificati. Per darvi un’idea, tutto questo equivale ad utilizzare solo il 5% dell’informazione contenuta nell’immagine originale. Il rimanente 95% è contenuto nell’immagine piena di dettagli che vedete, una concentrazione di particolari finissimi su un campo grigio.

Adesso siamo pronti per osservare le prime componenti semplici del mosaico di Carlo Scarpa, le costituenti di base del pavimento. È sempre difficile descrivere a parole queste immagini ma, ad esempio, nella prima io vedo isole tremolanti di tessere di marmo arancione su una campitura bianca e una griglia non troppo irregolare di quadratini vivaci rossi e verdi. Forse notate che gli angoli rossi sono sempre immersi in una forma ad elle di colore arancione e, in verità, nella seconda componente vediamo solo la combinazione verde-arancio in aree bianche molto più grandi di prima.

Adesso che disponiamo di un modo per determinare pochi pattern molto informativi, grazie al teorema di EY, come possiamo riprodurre questi pattern? Per il momento, non sappiamo il significato dei pattern e nemmeno come generarli. E, nuovamente, la matematica ci viene in soccorso.

Spesso matematici, ingegneri e informatici devono risolvere problemi difficili. I problemi possono essere difficili per molte ragioni ma sono particolarmente ardui quando non è noto con precisione cosa si cerca e, ad esempio, l’obbiettivo è replicare qualche regolarità presente nei dati passati. Fatemelo ripetere: voglio riprodurre “patterns’’, anche se non è noto comee che cosa significhino. Per problemi del genere si può utilizzare una famiglia di strumenti computazionali chiamati”algoritmi genetici’’.

Un algoritmo genetico è una procedura che imita l’evoluzione, sviluppata da John Holland all’Università del Michigan e dai tedeschi Ingo Rechenberg and Hans-Paul Schwefel. In sostanza, partite da una popolazione completamente casuale di soluzioni, valutate la loro performance, qualsiasi cosa questo significhi, e lasciate che la popolazione evolva in generazioni in cui i candidati migliori figliano altri candidati. Pensate a mamma e papà: possono produrre quello che chiameremmo un figlio, cioè un incrocio, un’altra soluzione, un’altra matrice, un altro pavimento… che potrebbe ereditare da papà e mamma alcune delle loro buone proprietà. Chiaramente si tratta di un processo turbolento e in parte casuale, a volte si migliora a volte si peggiora ma i figli possono essere di ottima qualità e possono anche superare i genitori in alcuni casi.

Sfruttando questa semplice idea, gli algoritmi genetici si sono dimostrati negli anni in grado di risolvere problemi complicati, esattamente come gli esseri viventi sono generalmente in grado di adattarsi con successo alle condizioni ambientali e anche di sopravvivere in situazioni ostili. Inoltre, l’idea è in sé molto semplice e si può applicare a contesti diversi senza che sia necessaria una comprensione approfondita del problema. Bastano, una popolazione iniziale (nel nostro caso, una serie di pavimenti) e modi per lasciarli evolvere alla ricerca di prestazioni migliori, favorendo gli individui di maggiore successo (cioè i pavimenti che più incorporano i pattern semplici fondamentali osservati prima).

Forse, allora, non è sorprendente che gli algoritmi genetici possano essere utili per riprodurre alcuni dei pattern estratti da immagini, anche se non è agevole dire come né descrivere verbalmente il significato di quanto si trova. Quello che vi ho detto di può riassumere come segue: Un po’ di spirito critico aiuta e vale la pena ricordare che:

• non sappiamo che cosa è generato dall’algoritmo nel senso che non siamo in grado di descriverlo verbalmente. Abbiamo utilizzato una scatola nera che non ci consente di vedere il meccanismo ma solo di ispezionare i risultati;
• il pavimento prodotto dall’algoritmo è simile all’originale di Scarpa? Non lo sappiamo. Ma approssima alcune sue proprietà fondamentali e inoltre, ogni volta che uso il programma, si ottengono pavimenti diversi per la presenza di casualità nel processo (ma in un certo senso, tutti i risultati sono fratelli).

E ora vi mostro tre esempi di pavimento-mosaico. Qual’è l’originale di Scarpa? Che siate in grado, o meno, di distinguere quello vero potrebbe avere scarsa importanza e sarebbe già un onore aver creato pavimenti possibili…

Per concludere, possiamo dire di aver capito, intendo capito veramente, quello che Scarpa aveva in mente? Non lo so e anzi, in tutta onestà, credo di no. Tuttavia, abbiamo catturato alcune delle caratteristiche profonde e fondamentali di quella disposizione di tessere, marezzata, cangiante, accogliente e vivace. A uno nato in campagna come me, a pochi km da S. Vito, veder fiorire ``spontaneamente’’ pavimenti così belli pare pur sempre una specie di miracolo.

Scarpa morì nel 1978 a Sendai mentre era in Giappone. Abbiamo ricordato da poco i 40 anni dalla morte. Ci manca il suo genio, la sua umanità e il suo lavoro. Ci manca il coraggio e il talento di spiriti liberi e folli come lui, che sapevano seminare novità e bellezza in una città come Venezia, cosi suggestiva e incantatrice da essere intimidatoria. Scarpa ci manca ma spero che condividiate l’illusione che la matematica possa catturare, o forse solo rubare, alcune delle idee e dei doni che l’architetto ha lasciato a questa città e a noi tutti. Grazie per l’attenzione.

26/10/2019 v. 1.1 (Escher)